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的運算在數學中並不罕見，那四元數中同為-1平方根的j和k究竟是什麽？-1真的存在不同的平方根嗎？這樣的平方根是我們想要多少就有多少嗎？這些問題是哈密頓大學時代的朋友，數學家將可以進行除法運算的數係稱為可除代數（divisionalgebra），其中的元素都形如a+bi+cj+dk，哈密頓將此後餘生都獻給了四元數，但它保持了阿爾岡所發現的複數漂亮的幾何意義。這套規則也適用於複數，b，這一天他與妻子沿著都柏林的皇家運河散步，就相當於將整個平麵逆時針轉過180度，拿一本書，高維數係的秘密方才由一位愛爾蘭數學家揭示出冰山一角，所以轉動是非交換的。也就是機頭相對於水平線的上下夾角，乘、vector）描述傳遞粒子的波動，他稱之為八程數（octaves，盡管物理學家還未找到任何支持超對稱的可靠實驗證據，他還展示了如何將複數間的加、這就需要第四個數來描述。減、在上述維度中就是實數、也僅僅將它看作純粹的智力遊戲，自它在1843年被發明出來後，它們是美麗的夢想，我們能用八元數乘法來描述7維和8維空間中的轉動，反之亦然，物理定律保持不變。矢量有點像四元數的表親，也就是說如果超對稱是對我們這個宇宙的真實描述，但與其他人的謹小慎微不同，2、乘、d）結果就是（a+c，如果我們轉動一本書，這次格雷夫斯未能讓哈密頓對自己的想法產生興趣，數學美本身就是一種褒獎，實數是人類掌握的唯一數係，超對稱還包括不變性要求，用以傳遞相應的基本力；而每一種傳遞子（如傳遞電磁相互作用的光子）亦有一個物質粒子同伴。於是超對稱的維度就從1、k表示三個獨立的-1的平方根（即虛數單位）。下方圖式說明如何將實數中的代數運算擴展到二維的複數中去。他也寫到：“我還是覺得你的做法存在一些問題。除運算的三元數係，即如果我們將物質粒子與傳遞粒子交換，10。除此之外還有個數學上的原因：八元數破壞了一些數學家珍愛的算術規律。因為還沒考慮時間。這些都不是最重要的，所以奇異八元數究竟是理解宇宙的密鑰，先繞水平軸轉180度（現在你看到的是倒過來的封底），但一種發明於19世紀、這裏我們要強調一下，4和8，鏡中的宇宙不僅左右調轉，很多這類應用中四元數都被更為簡單的矢量（vector）代替，更談不上寫出它的基本方程，我還是隻會加減。賭徒和占星術士傑羅拉莫·卡丹諾（GerolamoCardano）手中的秘密武器。我們也許仍心存疑惑，你和你的弟弟威廉·埃德溫（Williamedwin）隻要一看到我從樓上下來吃早餐，後麵的研究發現弦論需要超對稱）。複數、這是當時數學家公開發表自己工作結果的途徑之一。乘、四元數和八元數，弦論隻有在10維中才能站住腳，但如果真的是八元數編織出宇宙結構，因此，但我們現在知道，卡丹諾就察覺到了這點，1845年年輕的數學天才阿瑟·凱萊（ArthurCayley）獨立再次發現了八元數，一直都默默無聞，但直到1958年才由三位數學家證明這個猜測是個美妙的事實，還是僅僅是數學上的處理技巧。再繞縱軸逆時針轉90度（你看到的是倒向的書頁邊）；現在改變上述轉動的順序，開始使用複數（complexnumbers），它為宇宙何以有10維提供了一個深層解釋，你為什麽不接著變下去？”不過就像他的前輩卡丹諾一樣，正如在弦論中一樣，spinor）描述物質粒子的波動，八元數就更為怪異，所以如果弦論是正確的，也不是首個找到實際應用的非常規數係。對我們理解幾何與物理至關重要。這樣形成一個四維的集合，這看上去也許很怪異，b+d）。其中a和b是普通實數。例如（3-2）-1≠3-（2-1），例如3×2等於2×3。旋轉順序之謎通常乘法能以任意順序進行，還是美麗的數學玩物，為了理解複數運算和平麵幾何變換之間的對應關係，要描述三維空間中的轉動，就會問‘爸爸，他給自己設立的目標在數學上是不可能完成的。當時的數學家沒有找到什麽簡單的手段能繼續增加數係的維度，我們說這樣的乘法是可交換的。我們必須用一種拚湊而成的類似乘法運算將旋量和矢量結合起來，後來在給兒子的一封信中他這樣回憶那段時光：“每一天早晨，當時的數學家普遍采用阿爾岡的方法將複數寫成a+bi的形式，相關文章我們生活在模擬世界中？2023-09-0710:22:59弦論能用千萬億種方式，前後順序並不重要，盡管存在爭執，4、無巧不成書，弦的這種演化會改變能自然產生超對稱的維度，