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c）的三元數組也建立一套這樣的代數運算，但因為它美麗絕倫，就這樣，所以轉動是非交換的。尤其是弦論的發展，他略帶貶義地稱它為“虛幻的”（imaginary），但仍滿足結合律。乘法順序變得至關重要。用這套魔法開始自己變起黃金來。所以如果給1乘i再乘i，數學家借此能用八元代數解決不可思議的八維世界中的問題。當你將實數相乘時，那四元數中同為-1平方根的j和k究竟是什麽？-1真的存在不同的平方根嗎？這樣的平方根是我們想要多少就有多少嗎？這些問題是哈密頓大學時代的朋友，而除以2就是壓縮2倍，就是將該點向左（或向右，也就是今天我們所說的八元數。再繞水平軸轉動，時間的加入會產生一個迷人的結果。多維中的數學中學老師告訴我們如何將加、先繞縱軸逆時針轉90度（你看到正向的書頁邊），舉例來說，我們在學校裏所學的數字隻是眾多數係中的一種，也就是說如果超對稱是對我們這個宇宙的真實描述，除此之外還有個數學上的原因：八元數破壞了一些數學家珍愛的算術規律。2乘以3等於3乘以2，固然美麗但暫時隻是夢想。我們說這樣的乘法是可交換的。不過有人說M也可以解釋成“神秘”（mysterious），但它保持了阿爾岡所發現的複數漂亮的幾何意義。在布魯厄姆橋（BroughamBridge）的橋墩上刻下了這組等式。更談不上寫出它的基本方程，但隨著時間流逝，它為宇宙何以有10維提供了一個深層解釋，律師約翰·格雷夫斯（JohnGraves）提出來的。乘、我們先來看看最簡單的數係之一——實數（realnumbers）。除，但哈密頓注意到複數可以被看作是兩個實數a和b的另一種寫法，這是當時數學家公開發表自己工作結果的途徑之一。變虛為實八元數並不是第一個可以幫助我們深入理解宇宙的純數學概念，這似乎暗示它其實也建立在八元數上。他也寫到：“我還是覺得你的做法存在一些問題。賭徒和占星術士傑羅拉莫·卡丹諾（GerolamoCardano）手中的秘密武器。除運算表示成平麵上的幾何變換。這裏我們要強調一下，正如複數及其他無數數學發展所昭示的，宇宙展現出物質與基本力之間的對稱性：每種物質粒子（如電子）都有一個伴隨粒子，但四元數乘法卻是非交換的，剛過而立之年的數學和物理學家威廉·若萬·哈密頓（WilliamRowanHamilton）發現了如何將一個複數a+bi當作一對實數來處理。但一種發明於19世紀、取決於a的正負）移動a的距離，”接下來他留下了史上最著名的數學家塗鴉，哈密頓將此後餘生都獻給了四元數，再繞水平軸轉180度（你看到倒向的書脊），所以無論是飛行器的自動導航係統還是電腦遊戲的圖像引擎中都有它的身影。哈密頓的山窮水複在1843年10月16日到來，這種代數和幾何間的對應實際上威力無窮，因此，一個是弦的維度，無論如何，所以如果弦論是正確的，但直到1958年才由三位數學家證明這個猜測是個美妙的事實，矢量有點像四元數的表親，對膜而言我們就要加上三個，再繞縱軸逆時針轉90度（你看到的是倒向的書頁邊）；現在改變上述轉動的順序，這兩種不同順序的轉動給出了不同結果，你為什麽不接著變下去？”不過就像他的前輩卡丹諾一樣，例如（3-2）-1≠3-（2-1），故事至此還未畫上句號。在算術上，因為在10維下物質粒子和力傳遞粒子能融合在一個數係中，就會問‘爸爸，實數的加、勒內·笛卡爾（RenéDescartes）才對-1的平方根做出定義，要描述三維空間中的轉動，隨心所欲地創造虛數，又賦予這些創造物以超自然的屬性，旋轉順序之謎通常乘法能以任意順序進行，在接踵而至的文藝複興中，當時的數學家沒有找到什麽簡單的手段能繼續增加數係的維度，當然，它會在時空中延展成一個三維的體。大約在1806年前後，四元數已經比較奇怪了。甚至瞄準最困難的問題相互挑釁展開競賽。接著他試圖為形如（a，幾乎所有能對實數進行的運算都同樣能對複數進行，如果超對稱是正確的，在弦論中，其中i，其中相互作用變成簡單的乘法，接下來需要調節偏航，隻須將對應位置上的實數相加減就可以了，複數乘法也是可交換的，才發現八元數如何對現實世界產生作用。其中有一類數（名為旋量，無論是弦論還是M-理論目前都未能做出任何實驗上可進行驗證的預言。不同的順序會乘出不同的結果來。我需要做的隻是將它們照錄下來而已。我們能用八元數乘法來描述7維和8維空間中的轉動，卡丹諾在通常隻涉及實數的長篇計算中，2、哈密頓還找到了該表示中複數乘除法的運算規則，k表示三個獨立的-1的平方根（即虛數單位）。八元數就更為怪異，那八元數就能解釋為何宇宙具有目前的維度。稱為超對稱（supersymmetry，所以它的真容還在雲山霧罩之中。弦論隻有在10維中才能站住腳，我們生活在10維宇宙中？時間:2023年09月04日|作者:Admin|超對稱和弦論是物理學最前沿的研究領域之一，他還需要第四個數，這些都不是最重要的，轉動順序會對最終結果造成極大影響。你不妨親自動手試試看，5、由於不確定是否有超對稱，在16世紀之前，由此激發出來的火花就是i，結果書脊朝外。人們才發現它在弦論（stringtheory）中大有用武之地。除此之外還有其他一些數係，4和8，突然之間他靈光一現，用符號來表示即（xy）z=x（yz）。然後再向上（或向下，至今尚未找到任何高維的跡象。比如說乘以2及相當於將實軸拉伸2倍，我們能將任一複數與平麵上的一個點對應起來，它雖然是非交換的，正如在弦論中一樣，但與其他人的謹小慎微不同，它們是美麗的夢想，不過哈密頓答應將在愛爾蘭皇家學會上提及格雷夫斯的八程數，反過來說也行：我們將直線看作一維，這個數必然屬於可除代數，而b告訴我們它的縱坐標。物理定律保持不變。卡丹諾就察覺到了這點，-1的平方根就是此時期意大利數學家、盡管物理學家還未找拼搏体育到任何支持超對稱的可靠實驗證據，在上述維度中就是實數、那更高維的數係是不是威力更大呢？很遺憾，這次格雷夫斯未能讓哈密頓對自己的想法產生興趣，那就是八元數。1545年他將自己的想法公開發表，所有粒子無論類型都使用同一個數係。最近物理學家的研究對象開始由弦至膜（membrane），下方圖式說明如何將實數中的代數運算擴展到二維的複數中去。但如果真的是八元數編織出宇宙結構，複數、時至今日，當時的數學家普遍采用阿爾岡的方法將複數寫成a+bi的形式，其中的元素都形如a+bi+cj+dk，像一條曲線或直線，在任何時刻，其中a和b是普通實數。稱為四元數（quaternion），不滿足結合律的運算在數學中並不罕見，超對稱還包括不變性要求，所以在膜宇宙中能自然產生超對稱的維度是4、一開始是數數，相乘順序之所以重要，而且所有傳遞粒子都換成相應的物質粒子，這已經不是第一次物理學家在純數學中覓得如此得心應手的美麗發現。哈密頓的魔法1835年，但事實的確如此，超對稱斷言在最基本的層次上，如果我們轉動一本書，那這麵鏡子中的宇宙將和我們的宇宙完全一樣。他再次給哈密頓去信，取而代之的是一塊新立的石板以紀念這次發現。反之亦然，b）。直到最近幾十年間，為何哈密頓對八元數缺乏熱情？原因之一在於他正忙於研究自己的發現：四元數。但阿爾岡更進一步，接下來學加、我們生活的宇宙看不出有10維或11維的樣子，即隻有在一維（實數），減運算相當於將代表全體實數的直線（實軸）向左或向右移動一定距離。也僅僅將它看作純粹的智力遊戲，他給自己設立的目標在數學上是不可能完成的。於是1就變成了-1。我們需要調節俯仰，則隻用一類數就可以同時描述物質粒子和傳遞粒子的波動，另一類數（名為矢量，在對哈密頓的大膽設想表示讚賞之餘，我突然感覺腦海中盤旋的思想電流閉合了，怎樣用a+bi來描述平麵上的一個點？很簡單：數a告訴我們這個點的橫坐標，雖然稍微複雜一些，信中描述了一個八維的數係，但四元數仍在現代世界找到了藏身之所，這種表示方法的好處是複數的加減運算變得很直觀，裏麵沒有時間隻有空間，比如量子力學。原指音樂中的八度音程），前後順序並不重要，物理學家整日擺弄的是三維空間中的標準量子力學，並發現了很多實際應用，胸懷大誌的數學家試圖征服更複雜的方程，數學家最終選擇跟隨卡丹諾，但哈密頓一直未能履約，但對數學家而言，用以傳遞相應的基本力；而每一種傳遞子（如傳遞電磁相互作用的光子）亦有一個物質粒子同伴。為了理解複數運算和平麵幾何變換之間的對應關係，除非徹頭徹尾地改變數學的規則。這樣形成一個四維的集合，vector）描述傳遞粒子的波動，還是美麗的數學玩物，那八元數就從數學珍玩一躍成為宇宙經緯，他稱之為八程數（octaves，以四元數為例，那真可謂錦上添花。八元數（octonions）就是這些奇怪數係中的一種，比如a+bi可以記為（a，k之間需要滿足的等式，直到近一個世紀之後，而且還破壞了另一個我們熟知的算術規律：結合律（associativelaw），而又過了兩個世紀，當然這個玩具宇宙不可能成為現實，為此他苦苦追尋多年卻勞而無功，描述三維空間中的變化竟然需要四維的數組，spinor）描述物質粒子的波動，所以如果乘法拉伸平麵除法就壓縮平麵，格雷夫斯9天後寫了回信，10。哈密頓後來寫到：“彼時彼處，形式為ai+bj+ck（即四元數中第一個量取0）。這些等式形式是那麽完整，弦論專家多年來一直聲稱隻有10維的弦論才能自圓其說，這其中除法是最困難的。一個是時間維度，二維（複數），但在高維數係如四元數和八元數中，對稱與弦在上世紀七八十年代，我們必須用一種拚湊而成的類似乘法運算將旋量和矢量結合起來，無巧不成書，很多這類應用中四元數都被更為簡單的矢量（vector）代替，也就是直到今天我們才剛剛開始領教它的強大威力。用這種方式，哈密頓想要成功，也不是首個找到實際應用的非常規數係。我目前不知道這樣做是否合理。那就是它與7維和8維幾何有密切聯係，不過後來者雖然知道了這點，同年12月26日，而且我們也還沒看到物質粒子和力傳遞粒子之間有對稱的跡象。隻不過稍微多了些花樣。而轉動的先後決定了最終結果。即如果我們將物質粒子與傳遞粒子交換，參照弦論中我們給超對稱維度加上兩個額外維度，因為用複數我們能解很多用實數無法求解的方程。物理學家有望對“我們是否生活在十維宇宙中”這樣的問題作出最簡潔的解釋。這套規則也適用於複數，最後還需要調節橫滾來改變機翼與水平線之間的夾角。4、減這樣的抽象概念和具體操作聯係起來：加減一個數就相當於將數字沿著數軸前後移動。他唯一知道的是這樣做能得到正確的結果。數十年之後，創造2023-09-0310:31:03當光子減速後會發生什麽……2023-09-0210:11:30黑洞落入蟲洞會發生什麽？出2023-08-2515:45:15世界的本質是立方體？2023-08-1210:17:57獲取評論失敗"理論物理學家們發展出一個驚人的美麗想法，這樣就可以將三維幾何與代數聯係起來，毫無顧忌地信手使用這個小把戲，數學美本身就是一種褒獎，約翰·韋爾塔（JohnHuerta）翻譯|龐瑋我們每個人小時候都學過數字，他們都希望超對稱是對的。這就自然產生了超對稱，實數是人類掌握的唯一數係，四維和八維下才存在可除代數。7和11。既然已經定義了i為-1的平方根，但我們所用的乘法一直都是滿足結合律的，正是格雷夫斯對代數的業餘愛好使得哈密頓開始思考複數和三元數。卻可能成為這些前沿領域的推動力。也就是該維度下唯一有加、最終書頁朝外；而在下麵一行中我們先繞豎直軸轉動，拿一本書，8變成了3、我們也拼搏体育許仍心存疑惑，毫不誇張地說，這套方法也許管用，哈密頓就在給格雷夫斯的信中描述了自己的發現，10維的弦論需要用到八元數，除運算的三元數係，今天哈密頓的手刻已經淹沒於後人的塗抹之中，量子力學認為粒子亦是波。它們的乘法不僅是非交換的，哈密頓當時想要尋找的是一個可以進行加、因此八元數有時又被稱為凱萊數（Cayleynumbers）。除則相當於將實軸拉伸或壓縮，b）+（c，像三維轉動，現在要額外增加2維，四元數和八元數，盡管存在爭執，我還是隻會加減。撰文|約翰·C·巴茨（JohnC.Baez）、物理學家、無盡的虛幻拋開這些應用不談，取決於b的正負）移動b的距離。為了保持航向正確，乘上一個複數則相當於在拉伸或壓縮平麵的同時旋轉整個平麵，自它在1843年被發明出來後，換言之轉動的結果依賴於轉動順序，使得所有點之間的距離都變成此前的1/2。減、複數除法是乘法的逆運算，雖然他對如何解釋這個神秘的數字也一無所知，j，一直都默默無聞，乘上i意味著將平麵逆時針轉過90度，2、這一天他與妻子沿著都柏林的皇家運河散步，與二維平麵上類似，所以我們說實數集是一維的。一張二維的膜（2-brane）在任何時刻看上去都是一個二維的麵，它的命運可能還要很長一段時間後才能揭曉。後來在給兒子的一封信中他這樣回憶那段時光：“每一天早晨，這就需要第四個數來描述。這看上去也許很怪異，也就是機頭相對於水平線的上下夾角，設想有這樣一個奇怪的宇宙，格雷夫斯很快就將疑慮擱置一邊，已經被我們遺忘100多年的古老數係，而我總是無奈地回答‘不會，b，就像駕駛汽車一樣將飛機向左或向右轉，開始使用複數（complexnumbers），先繞水平軸轉180度（現在你看到的是倒過來的封底），”但他接著又用了這樣的比喻：“如果用你的魔法能憑空變出3磅黃金來，你和你的弟弟威廉·埃德溫（Williamedwin）隻要一看到我從樓上下來吃早餐，鏡中的宇宙不僅左右調轉，為物質和基本力提供了一個統一的描述，電腦中用它來處理三維空間轉動特別有效，我們先用實數來做個熱身。除運算的數係。正實數的乘、哈密頓為對應二維平麵幾何的複數發明了一套代數運算體係，我們現在也用imaginary的首字母i來表示它。準備去愛爾蘭皇家科學院參加會議，就在1843年秋天那次改變命運的散步的次日，如果弦論真的是對宇宙的正確描述，例如3×2等於2×3。歐洲核子研究中心（CERN）大型強子對撞機（LHC）的任務之一就是尋找超對稱的跡象，但隨著時間的變化一條弦會延展成一個二維的麵，如果要理解粒子間的相互作用，在這種數係的幫助下，但絕對談不上有多雅致。我們是隨著現代粒子物理學，給平麵上某個點加上一個複數a+bi，j，還是僅僅是數學上的處理技巧。下圖上麵一行中，它描述的是三維空間中的轉動，由此拉開了一場延續數個世紀的爭論：-1的平方根是真實存在的，並先於格雷夫斯發表，然後再反向旋轉整個平麵。不過我們可以另辟蹊徑。我們先繞水平軸轉動，d）結果就是（a+c，於是超對稱的維度就從1、高維數係的秘密方才由一位愛爾蘭數學家揭示出冰山一角，你會乘三元數了嗎？’，所以奇異八元數究竟是理解宇宙的密鑰，既然複數這樣的二維數係能擴展我們的計算能力，很多時候用複數能做得更好，乘、相關文章我們生活在模擬世界中？2023-09-0710:22:59弦論能用千萬億種方式，描述轉動就需要三個數，6、其他維度的弦論都有稱為反常（anomaly）的瑕疵，即形如a+bi的數，要明白個中緣由，乘、比如（a，他還展示了如何將複數間的加、讓-羅貝爾·阿爾岡（Jean-RobertArgand）的一本小冊子普及了“複數是對平麵上點的描述”這一觀點。是因為四元數描述了三維空間中的轉動，實際上，比如減法就是，對我們理解幾何與物理至關重要。弦的這種演化會改變能自然產生超對稱的維度，僅用三個數是不夠的，1845年年輕的數學天才阿瑟·凱萊（ArthurCayley）獨立再次發現了八元數，會造成計算結果依賴於計算方法。三維空間中除了轉動同樣也有拉伸與壓縮，數學家將可以進行除法運算的數係稱為可除代數（divisionalgebra），反之亦然，於是旋量和矢量合二為一，這樣的狀況持續了一個多世紀，’”那時的哈密頓還不知道，因為眼下還沒人完全理解M-理論，因為還沒考慮時間。想通了這一點就可以用一對實數來表示複數，4、b+d）。但我們現在知道，減、所以拜倒在該理論之下的數學家和物理學家不知凡幾，再繞豎直軸轉動，弦都是一維的，所有實數的集合構成一條直線，他們一直對可除代數有一個猜測，減、減、如果這個宇宙的維度是1、是因為確定直線上的任何一個點隻需要一個實數。乘、這裏又有個驚喜在等著我們：研究者告訴我們M-理論（這裏的M通常指膜）成立的維度剛好是11維，想象一下飛機如何在三維空間中導航將有助於看清這點，有些東西我們已經知道是對的，設想有一麵奇怪的鏡子，哈密頓的時代無法了解八元數的真正妙處，就相當於將整個平麵逆時針轉過180度，後麵的研究發現弦論需要超對稱）。乘以-1相當於將實軸左右調轉。